直線のベクトル方程式の解説

直線のベクトル方程式

直線のベクトル方程式は、1点および方向ベクトルを使って表現されます。直線のベクトル方程式には代表的な形式がいくつかあります。

1. 点-方向ベクトル形式

任意の直線は点 \(\vec{a}\) を通り、方向ベクトル \(\vec{b}\) を持つ場合、次のように表されます：

\(\vec{r} = \vec{a} + t \vec{b}\)

ここで、\(\vec{r}\) は直線上の任意の点を示し、\(t\) は実数のパラメータです。

具体例

例1: 点 \((1, 2)\) を通り、方向ベクトル \((3, 4)\) を持つ直線：

• \(\vec{r} = (1, 2) + t (3, 4) = (1 + 3t, 2 + 4t)\)

2. 点-点形式

2点 \(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) を通る直線は、次のように表されます：

\(\vec{r} = \vec{a} + t (\vec{b} - \vec{a})\)

ここで、\(\vec{r}\) は直線上の任意の点、\(t\) は実数のパラメータです。

具体例

例2: 点 \((1, 2)\) と \((4, 6)\) を通る直線：

• \(\vec{r} = (1, 2) + t ((4, 6) - (1, 2)) = (1, 2) + t (3, 4) = (1 + 3t, 2 + 4t)\)

3. パラメトリック形式

直線のベクトル方程式は、パラメータを用いて各成分ごとに表すこともできます：

\(\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}\)

ここで、\((x_0, y_0)\) は直線上の1点、\((a, b)\) は方向ベクトル、\(t\) は実数のパラメータです。

具体例

例3: 点 \((1, 2)\) を通り、方向ベクトル \((3, 4)\) を持つ直線：

• \(\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 4t \end{cases}\)

意義

直線のベクトル方程式は、空間内の直線を簡潔に表現する手段として重要です。特に、コンピュータゲームや物理シミュレーション、機械学習など、複数の分野で利用されています。

練習問題

次の問題を解いて、直線のベクトル方程式について確認しましょう：

1. 点 \((2, 3)\) を通り、方向ベクトル \((1, -2)\) を持つ直線のベクトル方程式を求めなさい。
2. 点 \((0, 0)\) と \((4, 5)\) を通る直線のベクトル方程式を求めなさい。
3. 点 \((1, 1)\) を通り、方向ベクトル \((2, 3)\) を持つ直線のパラメトリック方程式を書きなさい。