ベクトルの内積と2つのベクトルのなす角の解説

ベクトルの内積

ベクトルの内積（スカラー積）とは、2つのベクトルの成分を乗算し、その和をとったものです。内積は次のように表されます：

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2\)

ここで、\(\vec{a} = (a_1, a_2)\) と \(\vec{b} = (b_1, b_2)\) です。

具体例

例1: ベクトル \(\vec{a} = (2, 3)\) と \(\vec{b} = (-1, 4)\) の内積は：

• \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 = -2 + 12 = 10\)

2つのベクトルのなす角

ベクトルのなす角 \(\theta\) は、次の式を用いて計算します：

\(\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\)

ここで、\(\vec{a} \cdot \vec{b}\) はベクトルの内積、\(|\vec{a}|\) と \(|\vec{b}|\) はそれぞれのベクトルの大きさです。

具体例

例2: ベクトル \(\vec{a} = (1, 2)\) と \(\vec{b} = (2, 3)\) のなす角を求めます：

• 内積：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 2 + 6 = 8\)
• ベクトルの大きさ： \(|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\)
• \(|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\)
• \(\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{8}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{13}} = \frac{8}{\sqrt{65}}\)
• したがって、なす角 \(\theta\) は \(\cos^{-1}\left(\frac{8}{\sqrt{65}}\right)\) となります。

意義

ベクトルの内積は、2つのベクトル間の関係性を理解するために重要な概念です。例えば、内積が0の場合、2つのベクトルは直交（垂直）しています。

ベクトルのなす角は、ベクトル間の方向の違いを定量的に評価する方法であり、物理やエンジニアリングの多くの分野で重要な役割を果たします。

練習問題

次の問題を解いて、ベクトルの内積やなす角について確認しましょう：

1. \(\vec{a} = (3, -1)\) と \(\vec{b} = (2, 2)\) の内積を求めなさい。
2. \(\vec{a} = (1, 1)\) と \(\vec{b} = (-1, 1)\) のなす角を求めなさい。
3. \(\vec{a} = (0, 2)\) と \(\vec{b} = (2, 0)\) は直交しているか確認しなさい。