ベクトルの1次結合と独立/従属性の解説

ベクトルの1次結合

2つ以上のベクトル\(\vec{a_1}, \vec{a_2}, \dots, \vec{a_n}\) の1次結合とは、それらのベクトルにスカラー値を掛け合わせた和を指します。具体的には、以下のように表されます：

\(k_1 \vec{a_1} + k_2 \vec{a_2} + \dots + k_n \vec{a_n}\)

ここで、\(k_1, k_2, \dots, k_n\) はスカラーです。

具体例

例1: ベクトル \(\vec{a} = (2, 1)\) と \(\vec{b} = (-1, 3)\) の1次結合 \(3 \vec{a} + 2 \vec{b}\) を考えると：

• 3 \(\vec{a} = 3 \times (2, 1) = (6, 3)\)
• 2 \(\vec{b} = 2 \times (-1, 3) = (-2, 6)\)
• 3 \(\vec{a}\) + 2 \(\vec{b}\) = (6, 3) + (-2, 6) = (4, 9)

ベクトルの1次独立と従属

ベクトル \(\vec{a_1}, \vec{a_2}, \dots, \vec{a_n}\) は1次独立か1次従属のいずれかの属性を持つ場合があります。

1次独立

ベクトル \(\vec{a_1}, \vec{a_2}, \dots, \vec{a_n}\) が1次独立であるとは、次の条件を満たす時を言います：

\(k_1 \vec{a_1} + k_2 \vec{a_2} + \dots + k_n \vec{a_n} = 0\) が成立するためには、全ての \(k_1, k_2, \dots, k_n\) が0である必要があります。

具体例

例2: ベクトル \(\vec{a} = (1, 0)\) と \(\vec{b} = (0, 1)\) は1次独立です。任意の \(k_1, k_2\) に対して：

\(k_1 \vec{a} + k_2 \vec{b} = (k_1, 0) + (0, k_2) = (k_1, k_2) = (0, 0)\)

この方程式が成立するには \(k_1 = 0\) かつ \(k_2 = 0\) でなければなりません。

1次従属

ベクトル \(\vec{a_1}, \vec{a_2}, \dots, \vec{a_n}\) が1次従属であるとは、次の条件を満たす時を言います：

\(k_1 \vec{a_1} + k_2 \vec{a_2} + \dots + k_n \vec{a_n} = 0\) が成立するために、全ての \(k_1, k_2, \dots, k_n\) が0ではなく、一部が0でないスカラー値が存在する場合です。

具体例

例3: ベクトル \(\vec{a} = (1, 2)\) と \(\vec{b} = (2, 4)\) は1次従属です。なぜなら、\(\vec{b}\) は \(\vec{a}\) のスカラー倍です：

\(2 \vec{a} - \vec{b} = 2 (1, 2) - (2, 4) = (2, 4) - (2, 4) = (0, 0)\)

この場合、\(k_1 = 2\) かつ \(k_2 = -1\) で、両方が0ではありません。

練習問題

次の問題を解いて、ベクトルの1次結合や1次独立/従属について確認しましょう：

1. \(\vec{a} = (2, 3)\) と \(\vec{b} = (4, -1)\)、およびスカラー \(k_1 = 3\)、\(k_2 = -2\)の場合、\(k_1 \vec{a} + k_2 \vec{b}\) を求めなさい。
2. ベクトル \(\vec{a} = (1, 2)\)、\(\vec{b} = (2, 4)\)、\(\vec{c} = (3, 6)\) が1次独立か1次従属かを判定しなさい。
3. \(\vec{a} = (1, -1)\) と \(\vec{b} = (2, -3)\) が1次独立か1次従属かを確認しなさい。