三角関数の合成

三角関数の合成は、複数の三角関数を1つの三角関数にまとめる方法です。これにより、計算が簡単になります。

基本公式

合成の基本的な公式は次の通りです:

• \(a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin (\theta + \alpha)\)
• ここで、\(\alpha\) は \(\tan \alpha = \frac{b}{a}\) で求められます。

具体的な例

次の式を合成しなさい: \(3 \sin \theta + 4 \cos \theta\)

• まず、\(\sqrt{a^2 + b^2}\) を求めます：\(\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
• 次に、\(\alpha\) を求めます：\(\tan \alpha = \frac{4}{3}\)
• \(\alpha = \tan^{-1} \frac{4}{3}\) を計算します。
• したがって、\(3 \sin \theta + 4 \cos \theta = 5 \sin (\theta + \tan^{-1} \frac{4}{3})\)

応用例

次の式を合成しなさい: \(2 \sin x - \cos x\)

• まず、\(\sqrt{a^2 + b^2}\) を求めます：\(\sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\)
• 次に、\(\alpha\) を求めます：\(\tan \alpha = \frac{-1}{2}\)
• \(\alpha = \tan^{-1} \frac{-1}{2}\) を計算します。
• したがって、\(2 \sin x - \cos x = \sqrt{5} \sin (x + \tan^{-1} \frac{-1}{2})\)

三角関数の合成を用いた問題の解決

合成後の三角関数を使うと、最大値や最小値を簡単に求めることができます。

例：\(3 \sin \theta + 4 \cos \theta\) の最大値と最小値を求めなさい。

• 合成した結果： \(5 \sin (\theta + \tan^{-1} \frac{4}{3})\)
• \(\sin\) の最大値は 1、最小値は -1 です。
• したがって、最大値は \(5 \times 1 = 5\)、最小値は \(5 \times (-1) = -5\) です。

練習問題

次の問題を解いて、三角関数の合成について確認してください：

1. \(\sin x + \sqrt{3} \cos x\) を合成しなさい。
2. 合成後の三角関数を使って、\(\sin x + \sqrt{3} \cos x\) の最大値と最小値を求めなさい。