三角関数の積和公式と和積公式

積和公式

積和公式は、積の形の三角関数を和（または差）の形に変換する公式です。

• \(\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)]\)
• \(\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta)]\)
• \(\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} [\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)]\)

具体的な例

角度 \(\alpha = 30°\) と \(\beta = 45°\) に対して、\(\sin \alpha \cos \beta\) を求める：

• \(\sin 30° \cos 45°\)
• 積和公式を使います：
• \(\sin 30° \cos 45° = \frac{1}{2} [\sin (30° + 45°) + \sin (30° - 45°)]\)
• \(\sin 75° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\) および \(\sin (-15°) = - \sin 15° = -\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\)
• 値を代入して計算します：
• \(\sin 30° \cos 45° = \frac{1}{2} \left[\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{2\sqrt{2}}{4} \right] = \frac{\sqrt{2}}{4}\)

和積公式

和積公式は、和（または差）の形の三角関数を積の形に変換する公式です。

• \(\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)\)
• \(\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)\)
• \(\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)\)
• \(\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \sin \left( \frac{\alpha - β}{2} \right)\)

具体的な例

角度 \(\alpha = 45°\) と \(\beta = 15°\) に対して、\(\sin \alpha + \sin \beta\) を求める：

• \(\sin 45° + \sin 15°\)
• 和積公式を使います：
• \(\sin 45° + \sin 15° = 2 \sin \left( \frac{45° + 15°}{2} \right) \cos \left( \frac{45° - 15°}{2} \right)\)
• \(\sin 30° = \frac{1}{2}\) および \(\cos 15° \approx 0.966\)
• 値を代入して計算します：
• \(\sin 45° + \sin 15° = 2 \times \frac{1}{2} \times 0.966 = 0.966\)

練習問題

次の問題を解いて、積和公式および和積公式を確認してください：

1. 角度 \(\alpha = 60°\) と \(\beta = 30°\) に対して、\(\cos \alpha \cos β\) を求めなさい。
2. 角度 \(\alpha = 75°\) と \(\beta = 15°\) に対して、\(\sin \alpha - \sin β\) を求めなさい。