倍角公式、半角公式、3倍角の公式

2倍角の公式

倍角の公式は、三角関数を2倍の角に適用するための公式です。

• \(\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta\)
• \(\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta\)
• \(\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}\)

具体的な例

角度 \(\theta = 30°\) のとき、2倍角の値を求める：

• \(\sin 60° = \sin 2 \times 30° = 2 \sin 30° \cos 30°\)
• \(\sin 30° = \frac{1}{2}\)、\(\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
• \(\sin 60° = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

半角の公式

半角の公式は、三角関数の角度を半分にするための公式です。

• \(\sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}\)
• \(\cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}\)
• \(\tan \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}\)

具体的な例

角度 \(\theta = 60°\) のとき、半角の値を求める：

• \(\sin 30° = \sin \frac{60°}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos 60°}{2}}\)
• \(\cos 60° = \frac{1}{2}\)
• \(\sin 30° = \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\)

3倍角の公式

3倍角の公式は、三角関数を3倍の角に適用するための公式です。

• \(\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta\)
• \(\cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta\)
• \(\tan 3\theta = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta}\)

具体的な例

角度 \(\theta = 20°\) のとき、3倍角の値を求める：

• \(\sin 60° = \sin 3 \times 20° = 3 \sin 20° - 4 \sin^3 20°\)
• \(\sin 20° \approx 0.342\) を使用して：
• \(\sin 60° = 3 \times 0.342 - 4 \times (0.342)^3 \approx 1.026 - 0.160 \approx 0.866\)

練習問題

次の問題を解いて、倍角公式、半角公式、および3倍角公式を確認してください：

1. 角度 \(\theta = 45°\) のときの \(\sin 2\theta\) を求めなさい。
2. 角度 \(\theta = 90°\) のときの \(\cos \frac{\theta}{2}\) を求めなさい。
3. 角度 \(\theta = 15°\) のときの \(\tan 3\theta\) を求めなさい。