三角関数の加法定理

三角関数の加法定理は、角度の和や差を持つ三角関数の値を計算するための公式です。これらの定理は、複雑な角度に対する三角関数の計算を容易にします。

加法定理（和の公式）

• \(\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\)
• \(\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta\)
• \(\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}\)

加法定理（差の公式）

• \(\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta\)
• \(\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta\)
• \(\tan (\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}\)

具体的な例

角度 \(\alpha = 30°\) と \(\beta = 45°\) に対して、\(\sin (\alpha + \beta)\) を求める：

• \(\sin (30° + 45°) = \sin 75°\)
• 加法定理を使います：
• \(\sin 75° = \sin 30° \cos 45° + \cos 30° \sin 45°\)
• \(\sin 30° = \frac{1}{2}\)、\(\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)、\(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\)、\(\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
• 値を代入すると：
• \(\sin 75° = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\)
• \(\sin 75° = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}\)
• \(\sin 75° = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}\)

別の具体例

角度 \(\alpha = 60°\) と \(\beta = 45°\) に対して、\(\cos (\alpha - \beta)\) を求める：

• \(\cos (60° - 45°) = \cos 15°\)
• 加法定理（差の公式）を使います：
• \(\cos 15° = \cos 60° \cos 45° + \sin 60° \sin 45°\)
• \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)、\(\cos 60° = \frac{1}{2}\)、\(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\)、\(\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
• 値を代入すると：
• \(\cos 15° = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\)
• \(\cos 15° = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}\)
• \(\cos 15° = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}\)

練習問題

次の問題を解いて、加法定理を確認してみましょう：

1. 角度 \(\alpha = 45°\) と \(\beta = 30°\) に対して、\(\sin (\alpha + \beta)\) を求めなさい。
2. 角度 \(\alpha = 60°\) と \(\beta = 30°\) に対して、\(\tan (\alpha - \beta)\) を求めなさい。