正弦定理と余弦定理

正弦定理

正弦定理は、任意の三角形において、各辺の長さとその対角の正弦の比が等しいことを示します：

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

ここで、\(a\)、\(b\)、\(c\) はそれぞれ角 \(A\)、\(B\)、\(C\) に対する辺の長さです。

例

三角形 \(ABC\) において、角 \(A = 30°\)、角 \(B = 45°\)、辺 \(a = 5\) の場合、辺 \(b\) を求める。

• まず、正弦定理を使用します：
• \[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\]
• 値を代入します：
• \[\frac{5}{\sin 30°} = \frac{b}{\sin 45°}\]
• ここで、\(\sin 30° = \frac{1}{2}\) および \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\) です：
• \[\frac{5}{\frac{1}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\]
• 比例を解くと：
• \[5 \times 2 = b \times \frac{2}{\sqrt{2}}\]
• \[10 = b \times \sqrt{2}\]
• \[b = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}\]

余弦定理

余弦定理は、三角形の任意の2辺とその間の角を使って第三辺の長さを求める公式です：

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C\]

ここで、\(a\)、\(b\)、\(c\) は三角形の各辺の長さで、\(C\) は辺 \(a\) および \(b\) の間の角度です。

例

三角形において、辺 \(a = 7\)、辺 \(b = 10\)、角 \(C = 60°\) の場合、辺 \(c\) を求める。

• まず、余弦定理を使用します：
• \[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C\]
• 値を代入します：
• \[c^2 = 7^2 + 10^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \cos 60°\]
• ここで、\(\cos 60° = \frac{1}{2}\) です：
• \[c^2 = 49 + 100 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2}\]
• \[c^2 = 49 + 100 - 70\]
• \[c^2 = 79\]
• \[c = \sqrt{79}\]

練習問題

次の問題を解いて、正弦定理と余弦定理を確認してください：

1. 三角形 \(ABC\) において、角 \(A = 40°\)、角 \(B = 60°\)、辺 \(a = 8\) の場合、辺 \(b\) を求める。
2. 三角形 \(DEF\) において、辺 \(d = 9\)、辺 \(e = 12\)、角 \(F = 45°\) の場合、辺 \(f\) を求める。