三角比の相互関係

ここでは、三角比 \(\sin\)、\(\cos\)、\(\tan\) の間の相互関係を解説します。よく知られている公式について学びましょう。

基本関係式 1

\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)

この公式はすべての角度 \(\theta\) に対して成り立ちます。この公式は三角比の基本中の基本です。

• 例：\(\theta = 30°\)
  • \(\sin 30° = \frac{1}{2}\)
  • \(\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
  • \((\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1\)

基本関係式 2

\(1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}\)

この公式は \(\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) を利用して得られる関係式です。

• 例：\(\theta = 45°\)
  • \(\tan 45° = 1\)
  • \(\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
  • \(1 + 1^2 = 1 + 1 = 2\)
  • \(\frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{1}{\frac{2}{4}} = 2\)

基本関係式 3

\(1 + \frac{1}{\tan^2\theta} = \frac{1}{\sin^2\theta}\)

この公式は \(\frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}\) を利用して得られる関係式です。

• 例：\(\theta = 60°\)
  • \(\tan 60° = \sqrt{3}\)
  • \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
  • \(\frac{1}{\tan 60°} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
  • \(1 + \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 1 + \frac{3}{9} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\)
  • \(\frac{1}{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}\)

練習問題

次の角度 \(\theta\) について、上記の公式を用いて確認してみましょう：

1. \(\theta = 45°\)
2. \(\theta = 30°\)
3. \(\theta = 60°\)