三角比の解説

三角比（さんかくひ、trigonometric ratios）は、直角三角形の辺の長さの比を使って角度を表現する方法です。主な三角比には、正弦（sin）、余弦（cos）、正接（tan）の3つがあります。

三角比の定義

直角三角形の基本

直角三角形において、次のように辺を定義します：

• 直角を挟む二辺を「底辺」と「対辺」
• 直角に対する辺を「斜辺」

以下の図で示します：

        斜辺
        /|
       / |
      /  | 対辺
     /θ  |
    /____|
  底辺

三角比の定義

• 正弦（sin）：\(\sin \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}\)
• 余弦（cos）：\(\cos \theta = \frac{\text{底辺}}{\text{斜辺}}\)
• 正接（tan）：\(\tan \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{底辺}}\)

具体的な例

例 1

直角三角形 ABC で、角 B が直角、角 A が 30° の場合を考えます。辺 AB の長さを 1、斜辺 AC の長さを 2 とします。ここで、三角比を計算してみます：

     C
     /|
    / |
   /  | 1
  /30°|
 /____|
A  1  B

ここで、斜辺 AC = 2、AB = 1、BC はピタゴラスの定理より、

\[BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}\]

• \(\sin 30° = \frac{1}{2}\)
• \(\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
• \(\tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

例 2

直角三角形 DEF で、角 D が 45° の場合を考えます。辺 DE と DF がともに 1 の場合、三角比を計算します：

     F
     /|
    / |
   /  | 1
  /45°|
 /____|
D  1  E

ここで、斜辺 EF はピタゴラスの定理より、

\[EF = \sqrt{DE^2 + DF^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\]

• \(\sin 45° = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
• \(\cos 45° = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
• \(\tan 45° = \frac{1}{1} = 1\)

練習問題

次の直角三角形について、三角比 \(sin\)、\(cos\)、\(tan\) の値を求めてください：

1. 角 A が 60°、斜辺 BC が 2 の場合
2. 角 X が 45°、底辺 XY が 1 の場合