長除法の説明

多項式の長除法を用いて、以下のように計算します。

例: \( \frac{x^2 - 3x + 4}{x + 1} \)

1. 最初の項を確認する: 割られる多項式 \(x^2 - 3x + 4\) の最高次の項 \(x^2\) を、割る多項式 \(x + 1\) の最高次の項 \(x\) で割ります。結果は \(x\) です。これが商の最初の項になります。
2. 掛け算して引き算する: \[ x \cdot (x + 1) = x^2 + x \] この結果を元の多項式 \(x^2 - 3x + 4\) から引きます： \[ (x^2 - 3x + 4) - (x^2 + x) = -4x + 4 \]
3. 次の項を確認する: 残った多項式 \(-4x\) を再び \(x\) で割ります。結果は \(-4\) です。これが商の次の項になります。
4. 再び掛け算して引き算する: \[ -4 \cdot (x + 1) = -4x - 4 \] この結果を残った多項式 \(-4x + 4\) から引きます： \[ (-4x + 4) - (-4x - 4) = 8 \]
5. 最終結果: 割り算が終了しました。商は \(x - 4\) で、余りは \(8\) です。したがって、次のように表せます： \[ x^2 - 3x + 4 = (x + 1)(x - 4) + 8 \]

このようにして、元の積分を簡単な形に変形することができ、最終的に積分を計算する際に便利になります。