総和記号の解説

数学における総和記号（そうわきごう、summation symbol）、\(\Sigma\)、は数列の和を取るために用いられます。これはとても便利な記号で、大きな数列の和でもコンパクトに記述することができます。総和記号の基本的な使い方は次の通りです：

総和記号の形式

\(\sum_{i=1}^{n} a_i\) という形式で用いられ、これは「\(i\) が 1 から \(n\) までの \(a_i\) の総和」を意味します。

例

次の例を見てみましょう：

• \(\sum_{i=1}^{5} i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\)
• \(\sum_{i=1}^{4} (i^2) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30\)

二項定理における総和記号

総和記号は二項定理でも使用されます。二項定理は次のように表されます：

\((a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}\)

ここで、\(\binom{n}{k}\) は二項係数で、「\(n\) 取る \(k\)」を意味します。

例題

次の総和を計算してみましょう：

1. \(\sum_{i=1}^{3} (i + 1)\)
2. \(\sum_{i=1}^{4} i^2\)
3. \(\sum_{i=0}^{2} \binom{2}{i} a^{2-i} b^i\)（二項定理を用いる）

解答

1. \(\sum_{i=1}^{3} (i + 1) = (1+1) + (2+1) + (3+1) = 2 + 3 + 4 = 9\)
2. \(\sum_{i=1}^{4} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30\)
3. \(\sum_{i=0}^{2} \binom{2}{i} a^{2-i} b^i = \binom{2}{0} a^2 b^0 + \binom{2}{1} a^1 b^1 + \binom{2}{2} a^0 b^2 = 1 \cdot a^2 + 2 \cdot ab + 1 \cdot b^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

練習問題

次の総和を計算してください：

1. \(\sum_{i=0}^{3} 2i\)
2. \(\sum_{i=1}^{5} (i+2)\)
3. \(\sum_{i=0}^{3} i^3\)
4. \(\sum_{i=0}^{2} \binom{3}{i} a^{3-i} b^i\)（二項定理を用いる）