図形の相似の解説

相似（そうじ、Similarity）とは、二つの図形が形は同じで大きさが異なることを意味します。相似な図形どうしでは、対応する辺の比がすべて等しく、対応する角度の大きさもすべて等しいです。

相似の三角形の説明

上記の図は、相似な二つの三角形を示しています。青い三角形と赤い三角形は相似であり、それぞれの辺の比は次のようになります：

このように、すべての辺の比が等しいため、これらの三角形は相似です。

長さを求める例

次に、辺の比から辺の長さを求める例を示します。

例

大きな三角形の一辺の長さが 12 cm、小さな三角形の対応する辺の長さが 6 cm の場合、他の辺の長さがわかっているとすると、次のようにして残りの辺の長さを求めることができます：

       C                     F
      / \                   / \
     /   \                 /   \
    /     \   相似比: 2   /     \
   /       \             /       \
  /_________\           /_________\
 A           B         D           E

  AB = 12                DE = 6

大きな三角形のもう一つの辺 AC の長さが 8 cm のとき、小さな三角形の辺 DF の長さを求めるには、次のようにします：

\[ \frac{AC}{DF} = \frac{相似比の分母}{相似比の分子} = \frac{12}{6} = \frac{8}{x} \]

解いていくと、 \[ x = 4 \text{ cm} \]

練習問題

次の相似な三角形 ABC と DEF について、辺の長さを求めてください：

  1. 三角形 ABC の辺 AB の長さが 15 cm、辺 DE が 5 cm であるとき、三角形 ABC の辺 AC が 9 cm のとき、三角形 DEF の辺 DF の長さを求めなさい。
  2. 三角形 ABC の辺 BC の長さが 10 cm、辺 EF が 4 cm であるとき、三角形 DEF の辺 DE が 6 cm のとき、三角形 ABC の辺 AB の長さを求めなさい。
  3. 三角形 ABC の辺 AB が 20 cm、辺 DE が 8 cm であるとき、三角形 ABC の辺 BC が 14 cm のとき、三角形 DEF の辺 EF の長さを求めなさい。
解答を表示/非表示
  1. 三角形 ABC の辺 AB の長さが 15 cm、辺 DE が 5 cm であるとき、三角形 ABC の辺 AC が 9 cm のとき、三角形 DEF の辺 DF の長さを求めなさい。

    相似比は \(\frac{15}{5} = 3:1\)。したがって、

    \[ \frac{AC}{DF} = 3 \implies \frac{9}{DF} = 3 \implies DF = \frac{9}{3} = 3 \text{ cm} \]

  2. 三角形 ABC の辺 BC の長さが 10 cm、辺 EF が 4 cm であるとき、三角形 DEF の辺 DE が 6 cm のとき、三角形 ABC の辺 AB の長さを求めなさい。

    相似比は \(\frac{BC}{EF} = \frac{10}{4} = 2.5:1\)。この相似比を DE と AB の比にも適用します。

    \[ \frac{AB}{DE} = 2.5 \implies \frac{AB}{6} = 2.5 \implies AB = 6 \times 2.5 = 15 \text{ cm} \]

  3. 三角形 ABC の辺 AB が 20 cm、辺 DE が 8 cm であるとき、三角形 ABC の辺 BC が 14 cm のとき、三角形 DEF の辺 EF の長さを求めなさい。

    相似比は \(\frac{AB}{DE} = \frac{20}{8} = 2.5:1\)。したがって、

    \[ \frac{BC}{EF} = 2.5 \implies \frac{14}{EF} = 2.5 \implies EF = \frac{14}{2.5} = 5.6 \text{ cm} \]