集合についての説明
集合（しゅうごう、set）は、特定の条件を満たす要素の集まりを意味します。集合は一般に波括弧 { } を用いて表されます。
和集合
和集合（わしゅうごう、union）とは、2つの集合 A と B の少なくともどちらか一方に含まれる要素全てを集めた集合です。A と B の和集合は \( A \cup B \) で表されます。
例えば、\( A = \{1, 2, 3\} \) と \( B = \{3, 4, 5\} \) の場合、
\[ A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \]
差集合
差集合（さしゅうごう、difference）とは、集合 A に属し、かつ集合 B に属さない要素全てを集めた集合です。A から B を引いた差集合は \( A - B \) で表されます。
例えば、\( A = \{1, 2, 3\} \) と \( B = \{3, 4, 5\} \) の場合、
\[ A - B = \{1, 2\} \]
積集合
積集合（せきしゅうごう、intersection）とは、2つの集合 A と B の両方に含まれる要素全てを集めた集合です。A と B の積集合は \( A \cap B \) で表されます。
例えば、\( A = \{1, 2, 3\} \) と \( B = \{3, 4, 5\} \) の場合、
\[ A \cap B = \{3\} \]
ド・モルガンの法則
ド・モルガンの法則（ド・モルガンのほうそく、De Morgan's laws）は、集合の補集合に関する重要な法則です。具体的には以下の2つの法則があります。
-
\[ (A \cup B)^c = A^c \cap B^c \]
例えば、\( U = \{1, 2, 3, 4, 5\} \) で \( A = \{1, 2\} \) と \( B = \{2, 3\} \) の場合、
\[ A^c = \{3, 4, 5\}, \quad B^c = \{1, 4, 5\} \]
したがって、
\[ (A \cup B)^c = \{4, 5\} = A^c \cap B^c \]
-
\[ (A \cap B)^c = A^c \cup B^c \]
例えば、\( U = \{1, 2, 3, 4, 5\} \) で \( A = \{1, 2\} \) と \( B = \{2, 3\} \) の場合、
\[ A^c = \{3, 4, 5\}, \quad B^c = \{1, 4, 5\} \]
したがって、
\[ (A \cap B)^c = \{1, 3, 4, 5\} = A^c \cup B^c \]
練習問題
以下の集合演算を求めてください。
- \( A = \{1, 2, 3\} \) と \( B = \{2, 3, 4\} \) の和集合 \( A \cup B \)
- \( A = \{1, 2, 3\} \) と \( B = \{2, 3, 4\} \) の差集合 \( A - B \)
- \( A = \{1, 2, 3\} \) と \( B = \{2, 3, 4\} \) の積集合 \( A \cap B \)
- ド・モルガンの法則を用いて、\( U = \{1, 2, 3, 4, 5\} \) で \( A = \{1, 2\} \) と \( B = \{2, 3\} \) の \( (A \cup B)^c \)
解答を表示/非表示
- \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4\} \)
- \( A - B = \{1\} \)
- \( A \cap B = \{2, 3\} \)
- \( (A \cup B)^c = \{4, 5\} \)