数列の極限

数列の極限とは、数列が無限に続くときにその数列が近づく値のことです。数列 \(a_n\) の極限が \(L\) であるとき、次のように表されます：

\(\lim_{n \to \infty} a_n = L\)

これは、数列 \(a_n\) の \(n\) が非常に大きくなると、数列の値が \(L\) に非常に近づくことを意味します。

例題

次の数列の極限を求めてみましょう：

  1. \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\)
  2. \(\lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{n + 1}\)
  3. \(\lim_{n \to \infty} \frac{5n^2 + 3}{n^2 + 1}\)

解答

  1. \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\)
  2. \(\lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}} = \frac{2 + 0}{1 + 0} = 2\)
  3. \(\lim_{n \to \infty} \frac{5n^2 + 3}{n^2 + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{5 + \frac{3}{n^2}}{1 + \frac{1}{n^2}} = \frac{5 + 0}{1 + 0} = 5\)

練習問題

次の数列の極限を計算してください：

  1. \(\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n}\)
  2. \(\lim_{n \to \infty} \frac{4n - 2}{2n + 3}\)
  3. \(\lim_{n \to \infty} \frac{6n^2 + n}{3n^2 + 2n + 1}\)
  4. \(\lim_{n \to \infty} \frac{n + 5}{2n - 1}\)
解答を表示/非表示
  1. \(\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} = 0\)
  2. \(\lim_{n \to \infty} \frac{4n - 2}{2n + 3} = \lim_{n \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{n}}{2 + \frac{3}{n}} = \frac{4 - 0}{2 + 0} = 2\)
  3. \(\lim_{n \to \infty} \frac{6n^2 + n}{3n^2 + 2n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{1}{n}}{3 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}} = \frac{6 + 0}{3 + 0 + 0} = 2\)
  4. \(\lim_{n \to \infty} \frac{n + 5}{2n - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{5}{n}}{2 - \frac{1}{n}} = \frac{1 + 0}{2 - 0} = \frac{1}{2}\)