漸化式

漸化式（ぜんかしき、recurrence relation）は、数列の各項がその前後の項に関係付けられた方程式です。つまり、ある項を計算するためにその前の項や他の前の項を使用します。一般に、漸化式は次の形で表されます：

\[ a_{n+1} = f(a_n, a_{n-1}, \ldots ) \]

ここで、\(a_{n+1}\) は次の項、\(a_n, a_{n-1}, \ldots\) は前の項を表します。

基本的な漸化式の例

漸化式の具体例をいくつか見てみましょう：

1. 等差数列の漸化式

等差数列の場合、漸化式は次のようになります：

\[ a_{n+1} = a_n + d \]

ここで、\(d\) は公差です。この漸化式を初項 \(a_1\) と一緒に使って数列の任意の項を求めることができます。

2. 等比数列の漸化式

等比数列の場合、漸化式は次のようになります：

\[ a_{n+1} = a_n \cdot r \]

ここで、\(r\) は公比です。この漸化式も初項 \(a_1\) と一緒に使って数列の任意の項を求めることができます。

例題

次の漸化式を解いて、第5項を求めてみましょう：

例題 1

初項 \(a_1 = 2\)、漸化式 \(a_{n+1} = a_n + 3\)

解答

\[ \begin{align*} a_1 &= 2 \\ a_2 &= a_1 + 3 = 2 + 3 = 5 \\ a_3 &= a_2 + 3 = 5 + 3 = 8 \\ a_4 &= a_3 + 3 = 8 + 3 = 11 \\ a_5 &= a_4 + 3 = 11 + 3 = 14 \end{align*} \]

例題 2

初項 \(a_1 = 1\)、漸化式 \(a_{n+1} = 2a_n\)

解答

\[ \begin{align*} a_1 &= 1 \\ a_2 &= 2a_1 = 2 \cdot 1 = 2 \\ a_3 &= 2a_2 = 2 \cdot 2 = 4 \\ a_4 &= 2a_3 = 2 \cdot 4 = 8 \\ a_5 &= 2a_4 = 2 \cdot 8 = 16 \end{align*} \]

練習問題

次の漸化式を解いて、第4項と第5項を求めてください：

1. 初項 \(a_1 = 4\)、漸化式 \(a_{n+1} = a_n + 2\)
2. 初項 \(a_1 = 3\)、漸化式 \(a_{n+1} = 3a_n\)