数列

数学における数列（すうれつ、sequence）は、数の並びのことで、順序付けられた数の集まりを意味します。例えば、次のような数列があります：

数列の例

• 自然数の数列：\(1, 2, 3, 4, 5, \ldots\)
• 偶数の数列：\(2, 4, 6, 8, 10, \ldots\)
• 平方数の数列：\(1, 4, 9, 16, 25, \ldots\)

等差数列と等比数列

等差数列

等差数列（とうさすうれつ、arithmetic sequence）は、連続する項の差が一定である数列です。この差のことを公差（こうさ、common difference）と言います。

例えば、数列 \(3, 7, 11, 15, 19, \ldots\) は等差数列であり、公差は \(4\) です。一般に、初項を \(a\)、公差を \(d\)、第 \(n\) 項を \(a_n\) とすると、等差数列の第 \(n\) 項は次のように表されます：

\(a_n = a + (n-1)d\)

等比数列

等比数列（とうひすうれつ、geometric sequence）は、連続する項の比が一定である数列です。この比のことを公比（こうひ、common ratio）と言います。

例えば、数列 \(2, 6, 18, 54, 162, \ldots\) は等比数列であり、公比は \(3\) です。一般に、初項を \(a\)、公比を \(r\)、第 \(n\) 項を \(a_n\) とすると、等比数列の第 \(n\) 項は次のように表されます：

\(a_n = a \cdot r^{(n-1)}\)

例題

次の等差数列と等比数列の第 \(5\) 項を計算してみましょう：

1. 等差数列：初項\(a = 2\)、公差\(d = 3\)
2. 等比数列：初項\(a = 5\)、公比\(r = 2\)

解答

1. 等差数列：初項 \(a = 2\)、公差 \(d = 3\) の第 \(5\) 項は \[ a_5 = 2 + (5-1) \cdot 3 = 2 + 4 \cdot 3 = 2 + 12 = 14 \]
2. 等比数列：初項 \(a = 5\)、公比 \(r = 2\) の第 \(5\) 項は \[ a_5 = 5 \cdot 2^{(5-1)} = 5 \cdot 2^4 = 5 \cdot 16 = 80 \]

練習問題

次の等差数列と等比数列の第 \(6\) 項を計算してください：

1. 等差数列：初項\(a = 7\)、公差\(d = 5\)
2. 等比数列：初項\(a = 3\)、公比\(r = 4\)