累乗根の性質と指数の分数表示

累乗根（るいじょうこん）とは、ある数を特定の回数だけ累乗（乗算）したときに元の数になる数のことです。累乗根の一例として平方根（二乗の逆操作）や立方根（三乗の逆操作）があります。

また、累乗根は指数法則を一般化するために、指数の分数表示として表現することができます。例えば、平方根や立方根は次のように表されます： \[ \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \quad \text{および} \quad \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}} \] これにより、指数の法則を累乗根に対しても適用することができます。

累乗根の性質

• \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\)
• \((a^{\frac{1}{n}})^m = a^{\frac{m}{n}}\)
• \(a^{\frac{m}{n}} \times a^{\frac{p}{n}} = a^{\frac{m+p}{n}}\)
• \(\frac{a^{\frac{m}{n}}}{a^{\frac{p}{n}}} = a^{\frac{m-p}{n}}\)

指数の分数表示

指数の分数表示を理解することで、累乗操作を簡単に行うことができます。具体例として以下があります： \[ 8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2 \] ここで、8の立方根は2です。 \[ (27)^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9 \] ここで、27の立方根は3であり、それを二乗すると9になります。

簡単な例題

以下の計算を行います。

1. \(\sqrt[4]{16}\)
2. \(81^{\frac{3}{4}}\)
3. \(32^{\frac{2}{5}}\)

解答

1. \(\sqrt[4]{16} = 16^{\frac{1}{4}}\) \[ 16 = 2^4 \quad \text{だから} \quad (2^4)^{\frac{1}{4}} = 2 \]
2. \(81^{\frac{3}{4}} = (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^3 = 27\)
3. \(32^{\frac{2}{5}} = (2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^2 = 4\)

練習問題

以下の累乗根や指数の分数表示の計算を行いなさい。

1. \(\sqrt[3]{27}\)
2. \(64^{\frac{2}{3}}\)
3. \(\sqrt[5]{32}\)
4. \(1000^{\frac{1}{3}}\)
5. \((9)^{\frac{3}{2}}\)
6. \(125^{\frac{2}{3}}\)
7. \(\sqrt[4]{81}\)
8. \(16^{\frac{3}{4}}\)