2重根号の外し方

2重根号とは、根号の中にさらに根号が入っている形式のことで、以下のように表されます：

\[ \sqrt{a + \sqrt{b}} \]

2重根号を外す方法は、以下の形式に変換することにあります。

\[ \sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{x} + \sqrt{y} \]

これを成立させるためには、以下の条件を満たす \(x\) と \(y\) を見つける必要があります。

\[ x + y = a \quad \text{かつ} \quad 2\sqrt{xy} = \sqrt{b} \]

方法

1. \(a + \sqrt{b} = x + y + 2\sqrt{xy}\)
2. それぞれの条件 \(x + y = a\) と \(2\sqrt{xy} = \sqrt{b}\) を解く

解の公式：2次方程式の場合

2次方程式の解の公式についても復習しておきます。一般に、2次方程式は次の形をしています：

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

ここで、\(a\)、\(b\)、\(c\) は係数です。2次方程式の解を求める公式は以下の通りです：

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

この公式を使って、2つの解を見つけることができます。

簡単な例題

次の2重根号を外してみましょう： \[ \sqrt{3 + \sqrt{5}} \]

1. まず、\(\sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}\) と仮定します。
2. 次に、\(x + y = 3\) かつ \(2\sqrt{xy} = \sqrt{5}\) という式を立てます。
3. ここで、\(x\) と \(y\) を見つけるためにそれぞれの式を解きます。例えば、 \[ x + y = 3 \] \[ 2\sqrt{xy} = \sqrt{5} \implies xy = \frac{5}{4} \]
4. これらの式を2次方程式の解の公式を使って解きます。具体的には、次のようにします： \[ t^2 - (x+y)t + xy = 0 \implies t^2 - 3t + \frac{5}{4} = 0 \] この2次方程式を解くために解の公式を適用します： \[ t = \frac{3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot \frac{5}{4}}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 5}}{2} = \frac{3 \pm 2}{2} \] これにより、 \[ t = \frac{5}{2} \quad \text{および} \quad t = \frac{1}{2} \]
5. これより、\(x = \frac{5}{2}\) および \(y = \frac{1}{2}\) が得られます。
6. したがって、 \[ \sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} \]

練習問題

以下の2重根号を外してください。

1. \(\sqrt{6 + \sqrt{20}}\)
2. \(\sqrt{10 + \sqrt{24}}\)
3. \(\sqrt{8 + \sqrt{15}}\)
4. \(\sqrt{12 + \sqrt{40}}\)
5. \(\sqrt{5 + \sqrt{21}}\)