無理式の分母の有理化
無理式とは、分母に平方根などが含まれる式のことです。分母に無理数がある場合、そのままでは計算がしにくいため、「有理化」と呼ばれる方法を使って分母を有理数に変えることがしばしば求められます。
方法
無理式の分母の有理化を行うためには、分母の共役（きょうやく）を用いて分子と分母に掛け合わせます。共役とは、たとえば \( \sqrt{a} + b \) に対して、その符号を反対にした \( \sqrt{a} - b \) のことです。これを用いることで、分母から平方根を取り除くことができます。
簡単な例題
例えば、
\[
\frac{1}{\sqrt{2} + 1}
\]
この場合、分母の共役である \( \sqrt{2} - 1 \) を使って有理化します。
\[
\frac{1}{\sqrt{2} + 1} \times \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1
\]
別の例
例えば、次のような式の有理化を考えます。
\[
\frac{3}{2 + \sqrt{5}}
\]
この場合、分母の共役である \( 2 - \sqrt{5} \) を使います。
\[
\frac{3}{2 + \sqrt{5}} \times \frac{2 - \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}} = \frac{3(2 - \sqrt{5})}{(2)^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{3(2 - \sqrt{5})}{4 - 5} = \frac{3(2 - \sqrt{5})}{-1} = -3(2 - \sqrt{5}) = -6 + 3\sqrt{5}
\]
練習問題
以下の無理数を含む式を有理化してください。
- \(\frac{4}{3 + \sqrt{2}}\)
- \(\frac{5}{1 - \sqrt{3}}\)
- \(\frac{2}{\sqrt{7} - 2}\)
- \(\frac{6}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}\)
解答を表示/非表示
-
\[
\frac{4}{3 + \sqrt{2}} \times \frac{3 - \sqrt{2}}{3 - \sqrt{2}} = \frac{4(3 - \sqrt{2})}{(3)^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{4(3 - \sqrt{2})}{9 - 2} = \frac{4(3 - \sqrt{2})}{7} = \frac{12 - 4\sqrt{2}}{7}
\]
-
\[
\frac{5}{1 - \sqrt{3}} \times \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{5(1 + \sqrt{3})}{(1)^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{5(1 + \sqrt{3})}{1 - 3} = \frac{5(1 + \sqrt{3})}{-2} = -\frac{5(1 + \sqrt{3})}{2}
\]
-
\[
\frac{2}{\sqrt{7} - 2} \times \frac{\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7} + 2} = \frac{2(\sqrt{7} + 2)}{(\sqrt{7})^2 - 2^2} = \frac{2(\sqrt{7} + 2)}{7 - 4} = \frac{2(\sqrt{7} + 2)}{3} = \frac{2\sqrt{7} + 4}{3}
\]
-
\[
\frac{6}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{6(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{6(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{3 - 2} = 6(\sqrt{3} - \sqrt{2})
\]