平方根についての説明
平方根（へいほうこん、square root）は、ある数を2乗（つまり自分自身を掛ける）したときに元の数になる数のことです。平方根は、正の数に対しては常に2つ存在し、一つは正の平方根、もう一つは負の平方根です。たとえば、4の平方根は2と-2です。
簡単な例題
例えば、9の平方根を求めるとします。
\[
\sqrt{9} = 3 \quad \text{および} \quad \sqrt{9} = -3
\]
分母の有理化
分母に平方根がある場合、それを有理化（分母から平方根を取り除くこと）する必要があります。例えば、
\[
\frac{1}{\sqrt{2}}
\]
この場合、分子と分母に \(\sqrt{2}\) を掛けることで有理化します。
\[
\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
平方根の四則演算の法則
平方根には以下のような四則演算の法則があります:
-
加法:
\[
\sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a + b}
\]
例えば、
\[
\sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5, \quad しかし \quad \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \neq 5
\]
-
減法:
\[
\sqrt{a} - \sqrt{b} \neq \sqrt{a - b}
\]
例えば、
\[
\sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1, \quad しかし \quad \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5} \neq 1
\]
-
乗法:
\[
\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}
\]
例えば、
\[
\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4
\]
-
除法:
\[
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}
\]
例えば、
\[
\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \sqrt{4} = 2
\]
練習問題
以下の平方根を求めてください。
- \(\sqrt{25}\)
- \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) を有理化してください。
- \(\sqrt{2} \times \sqrt{18}\)
- \(\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}\)
解答を表示/非表示
- \(\sqrt{25} = 5\)
- \(\frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
- \(\sqrt{2} \times \sqrt{18} = \sqrt{36} = 6\)
- \(\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}} = \sqrt{4} = 2\)