単項式とは、数、変数、およびそれらの積からなる一つの項から成る式です。例えば、\( 3x \)、\( -2y^2 \)、\( 7 \) などがあります。
多項式とは、複数の単項式の和で構成される式です。例えば、次のようなものがあります：
多項式には、各項が含まれ、それぞれの項には係数（項の前についている数）と変数（x、yなど）があり、変数には指数があります。
次の中から多項式を選んでください。
多項式は \( x^2 - 3x + 4 \) です。これは3つの項（\( x^2 \)、\( -3x \)、\( 4 \)）で構成されているからです。
他の2つは単項式です。
多項式どうしのかけ算は、各項を展開して計算します。例えば、次のような積があります：
\( (x + 2)(x - 3) \)
この場合、分配法則を使って次のように展開します：
\( (x + 2)(x - 3) = x \cdot (x - 3) + 2 \cdot (x - 3) \)
次の多項式を展開してください。
\( (x + 2)(x - 3) \)
まず、分配法則を使って展開します：
\( (x + 2)(x - 3) = x \cdot (x - 3) + 2 \cdot (x - 3) \)
次に、各項を計算します：
\( x \cdot (x - 3) = x^2 - 3x \)
\( 2 \cdot (x - 3) = 2x - 6 \)
最後に、これらを足し合わせます：
\( x^2 - 3x + 2x - 6 \)
同類項をまとめると：
\( x^2 - x - 6 \)
したがって、答えは \( x^2 - x - 6 \) です。
多項式の割り算は、長除法を用いて行います。被除数を除数に対してし、ごとに段階的に計算を進めていきます。
次の割り算を行ってください：
\( (x^2 - 3x + 2) \div (x - 1) \)
長除法の手順を次のように進めます：
1. 最上の項に注目し、商の最初の項を求めます：
\( \frac{x^2}{x} = x \)
2. 次に、商(ここではx)を取り除数(ここでは(x-1)のこと)に掛け、それを被除数から引きます：
\( x \times (x - 1) = x^2 - x \)
\( x^2 - 3x + 2 - (x^2 - x) = -3x + 2 + x = -2x + 2 \)
3. 次に、新しい被除数に対して同じように処理を行います：
\( \frac{-2x}{x} = -2 \)
\( -2 \times (x - 1) = -2x + 2 \)
\( -2x + 2 - (-2x + 2) = 0 \)
したがって、商は \( x - 2 \) です。
次の問題に挑戦してください。
問題1: 次の多項式を展開してください。
\( (x + 3)(x - 4) \)
まず、分配法則を使って展開します：
\( (x + 3)(x - 4) = x \cdot (x - 4) + 3 \cdot (x - 4) \)
次に、各項を計算します：
\( x \cdot (x - 4) = x^2 - 4x \)
\( 3 \cdot (x - 4) = 3x - 12 \)
最後に、これらを足し合わせます：
\( x^2 - 4x + 3x - 12 \)
同類項をまとめると：
\( x^2 - x - 12 \)
したがって、答えは \( x^2 - x - 12 \) です。
問題2: 次の割り算を行ってください：
\( (x^2 - 4x + 4) \div (x - 2) \)
長除法の手順を次のように進めます：
1. 最上の項に注目し、商の最初の項を求めます：
\( \frac{x^2}{x} = x \)
2. 次に、商を取り除数に掛け、それを被除数から引きます：
\( x \times (x - 2) = x^2 - 2x \)
\( x^2 - 4x + 4 - (x^2 - 2x) = -4x + 4 + 2x = -2x + 4 \)
3. 次に、新しい被除数に対して同じように処理を行います：
\( \frac{-2x}{x} = -2 \)
\( -2 \times (x - 2) = -2x + 2 \)
\( -2x + 4 - (-2x + 2) = 2 \)
4. あまりが3で割れないので割り切れない。
最終的な答えは： \( x -2 + \frac{2}{x-2}\)