順列と組み合わせについての説明

順列（じゅんれつ、permutation）とは、ある集合の要素を並べ替える方法の数を指します。一方、組み合わせ（くみあわせ、combination）とは、ある集合から要素を選び出す方法の数を指します。

順列

順列は、n 個の異なるものから r 個を選び出し、順番に並べる方法の数です。これを \( P(n, r) \) で表し、その計算式は以下の通りです。

\[ P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} \]

例えば、5 個の異なるものから 3 個を選んで並べる場合、

\[ P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 60 \]

組み合わせは、n 個の異なるものから r 個を選び出す方法の数です。これを \( C(n, r) \) または \( \binom{n}{r} \) で表し、その計算式は以下の通りです。

\[ C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \]

例えば、5 個の異なるものから 3 個を選ぶ場合、

\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3! \times (5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = 10 \]

円順列（えんじゅんれつ、circular permutation）とは、円形に並べる順列です。n 個の要素を円形に並べる場合の方法の数は、以下の通りです。

\[ (n-1)! \]

例えば、4 個の異なるものを円形に並べる場合、

\[ (4-1)! = 3! = 6 \]

数珠順列（じゅずじゅんれつ、necklace permutation）は、円順列に対し、回転だけでなく鏡映も考慮した順列です。n 個の要素を数珠状に並べる場合の方法の数は、以下の通りです（n が偶数の場合と奇数の場合で異なります）。

偶数の場合： \[ \frac{(n-1)!}{2} \] 奇数の場合： \[ \frac{n!}{2n} \]

例えば、4 個の異なるものを数珠状に並べる場合（n は偶数）、

\[ \frac{(4-1)!}{2} = \frac{3!}{2} = 3 \]

同じものを含む順列の数は、全体の順列数を同じものの重複分で割ることで求められます。具体的には、n 個の要素のうち、a 個が同じ、b 個が同じ、c 個が同じといった場合の順列の数は以下の通りです。

\[ \frac{n!}{a! \times b! \times c!} \]

例えば、A が 3 個、B が 2 個、C が 1 個の場合の順列の数は、

\[ \frac{6!}{3! \times 2! \times 1!} = \frac{720}{6 \times 2 \times 1} = 60 \]

以下の順列と組み合わせを求めてください。

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\( P(6, 2) = \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6 \times 5 \times 4!}{4!} = 30 \)
\( C(7, 3) = \binom{7}{3} = \frac{7!}{3! \times (7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{3 \times 2 \times 1 \times 4!} = 35 \)
5 個の異なるものを円形に並べる場合、\( (5-1)! = 4! = 24 \)
4 個の異なるものを数珠状に並べる場合（n は偶数）、\( \frac{(4-1)!}{2} = \frac{3!}{2} = 3 \)
A が 2 個、B が 2 個、C が 2 個の 6 個の要素の順列、\( \frac{6!}{2! \times 2! \times 2!} = \frac{720}{8} = 90 \)