2次関数の最大値と最小値

2次関数は一般に次の形で表されます： \[ f(x) = ax^2 + bx + c \] ここで、\(a\)、\(b\)、および \(c\) は定数であり、\(a \neq 0\) です。この関数のグラフは放物線で表されます。

定義域と値域

独立変数 \(x\) の取り得る範囲を定義域（domain）と呼び、従属変数 \(y\) の取り得る範囲を値域（range）と呼びます。

放物線の頂点

2次関数の最大値または最小値は、放物線の頂点で取られます。頂点の座標は次の式により求められます： \[ x = -\frac{b}{2a} \] 頂点の \(y\) 座標は、この \(x\) 値を関数 \(f(x)\) に代入して求めます： \[ f\left(-\frac{b}{2a}\right) \]

最大値と最小値

2次関数の最大値または最小値は次の条件によって決まります：

• 関数の「定義域」が全体集合 \(\mathbb{R}\) の場合、
  • \(a > 0\) の場合、最小値は頂点で取られ、関数は下に開く放物線となります。
  • \(a < 0\) の場合、最大値は頂点で取られ、関数は上に開く放物線となります。
• 関数の定義域が有限区間 \([a, b]\) の場合、
  • 最大値と最小値は端点 \(x = a\)、\(x = b\) 及び頂点の \(x\) 値によって決まります。

例題

次の2次関数の最大値と最小値を求めなさい。

1. \(f(x) = 2x^2 - 4x + 1\)、定義域 \([-1, 2]\)
2. \(g(x) = -x^2 + 6x - 2\)、定義域 \([0, 4]\)

解答

1. \(f(x) = 2x^2 - 4x + 1\)

頂点の \(x\) 座標は次の式で求められます： \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1 \]

この \(x\) 値を関数に代入して、頂点の \(y\) 座標を求めます： \[ f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1 \]

端点でも値を計算します： \[ f(-1) = 2(-1)^2 - 4(-1) + 1 = 2 + 4 + 1 = 7 \] \[ f(2) = 2(2)^2 - 4(2) + 1 = 8 - 8 + 1 = 1 \]

従って、定義域 \([-1, 2]\) における最大値は 7、最小値は -1 です。

2. \(g(x) = -x^2 + 6x - 2\)

頂点の \(x\) 座標を求めます： \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(-1)} = 3 \]

この \(x\) 値を関数に代入して、頂点の \(y\) 座標を求めます： \[ g(3) = -(3)^2 + 6(3) - 2 = -9 + 18 - 2 = 7 \]

端点でも値を計算します： \[ g(0) = -(0)^2 + 6(0) - 2 = -2 \] \[ g(4) = -(4)^2 + 6(4) - 2 = -16 + 24 - 2 = 6 \]

従って、定義域 \([0, 4]\) における最大値は 7、最小値は -2 です。

練習問題

次の2次関数の最大値と最小値を求めなさい。

1. \(h(x) = x^2 - 4x + 3\)、定義域 \([0, 3]\)
2. \(k(x) = -2x^2 + 8x + 1\)、定義域 \([-1, 4]\)