常用対数

常用対数（じょうようたいすう、common logarithm）は、底が10の対数です。通常、\(\log_{10}\) と書きますが、常用対数の場合には簡便のために \(\log\) と表記されることが多いです。すなわち、 \[ \log_{10} a = \log a \] 例えば、\(10^3 = 1000\) であるので、 \[ \log_{10}(1000) = 3 \quad \text{または} \quad \log(1000) = 3 \] となります。

常用対数の性質

• \(\log(10a) = 1 + \log a\)
• \(\log(ab) = \log a + \log b\)
• \(\log\left( \frac{a}{b} \right) = \log a - \log b\)
• \(\log(a^b) = b \log a\)
• \(\log(10) = 1\)
• \(\log(1) = 0\)

常用対数の近似値と大小関係の比較

常用対数の近似値と大小関係の比較に関して、以下の近似値を覚えておくと便利です：

• \(\log(2) \approx 0.301\)
• \(\log(3) \approx 0.477\)
• \(\log(5) \approx 0.699\)

これらの値を使うと、計算や比較が容易になります。次に、例題を通じて具体的に説明します。

例題

以下の常用対数を計算し、比較しなさい。

1. \(\log(8)\) と \(\log(9)\) の大小を比較しなさい。
2. \(\log(50)\) と \(\log(60)\) を計算しなさい。

解答

1. \(\log(8)\)を計算します： \[ \log(8) = \log(2^3) = 3 \log(2) = 3 \times 0.301 = 0.903 \] \(\log(9)\)を計算します： \[ \log(9) = \log(3^2) = 2 \log(3) = 2 \times 0.477 = 0.954 \] よって、 \[ \log(8) < \log(9) \]
2. \(\log(50)\) を計算します： \[ \log(50) = \log(5 \times 10) = \log(5) + \log(10) = 0.699 + 1 = 1.699 \] \(\log(60)\) を計算します： \[ \log(60) = \log(6 \times 10) = \log(6) + \log(10) = \log(2 \times 3) + \log(10) = \log(2) + \log(3) + 1 = 0.301 + 0.477 + 1 = 1.778 \]

例題

以下の常用対数を計算しなさい。

1. \(\log(100)\)
2. \(\log(10000)\)
3. \(\log(10)\)
4. \(\log(0.01)\)
5. \(\log(50) + \log(2)\)

解答

1. \(\log(100) = \log(10^2) = 2 \log(10) = 2 \times 1 = 2\)
2. \(\log(10000) = \log(10^4) = 4 \log(10) = 4 \times 1 = 4\)
3. \(\log(10) = 1\)
4. \(\log(0.01) = \log(10^{-2}) = -2 \log(10) = -2 \times 1 = -2\)
5. \(\log(50) + \log(2) = \log(50 \times 2) = \log(100) = \log(10^2) = 2\)

練習問題

以下の常用対数を計算してください：

1. \(\log(1000)\)
2. \(\log(0.1)\)
3. \(\log(100) + \log(0.01)\)
4. \(\log(200) - \log(2)\)
5. \(\log(25) + \log(4)\)

練習問題

以下の常用対数を計算し、比較しなさい：

1. \(\log(20)\) と \(\log(12)\) の大小を比較しなさい。
2. \(\log(25)\) と \(\log(15)\) を比較しなさい。
3. \(\log(18)\) と \(\log(24)\) の大小を比較しなさい。
4. \(\log(40)\) を計算しなさい。
5. \(\log(80)\) を計算しなさい。