対数演算と対数法則

対数（logarithm）とは、ある数を特定の基数（底、base）に対して何乗すれば特定の数になるかを表す概念です。対数は指数演算の逆とも言えます。

例えば、次の指数方程式があったとします： \[ b^x = a \] このとき、対数を使ってこの関係を次のように表します： \[ x = \log_b a \] ここで、\(x\) は対数の結果、\(b\) は底、\(a\) は真数を表します。

指数法則の復習

• \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
• \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)
• \((a^m)^n = a^{mn}\)
• \(a^0 = 1 \quad (a \neq 0)\)
• \(a^{-m} = \frac{1}{a^m}\)

対数法則

• \(\log_b (mn) = \log_b m + \log_b n\)
• \(\log_b \left(\frac{m}{n}\right) = \log_b m - \log_b n\)
• \(\log_b (m^n) = n \log_b m\)
• \(\log_b b = 1\)
• \(\log_b 1 = 0\)
• \(\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}\)（底の変換公式）

例題

次の対数を計算しなさい：

1. \(\log_3 27\)
2. \(\log_2 16\)
3. \(\log_{10} 1000\)
4. \(\log_5 \left(\frac{25}{5}\right)\)
5. \(\log_2 32^3\)

解答

1. \(\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3 \log_3 3 = 3 \times 1 = 3\)
2. \(\log_2 16 = \log_2 2^4 = 4 \log_2 2 = 4 \times 1 = 4\)
3. \(\log_{10} 1000 = \log_{10} 10^3 = 3 \log_{10} 10 = 3 \times 1 = 3\)
4. \(\log_5 \left(\frac{25}{5}\right) = \log_5 25 - \log_5 5 = \log_5 5^2 - \log_5 5 = 2 \log_5 5 - 1 \log_5 5 = 2 - 1 = 1\)
5. \(\log_2 32^3 = 3 \log_2 32 = 3 \log_2 2^5 = 3 \times 5 \log_2 2 = 3 \times 5 \times 1 = 15\)

練習問題

次の対数を計算しなさい：

1. \(\log_4 64\)
2. \(\log_3 81\)
3. \(\log_7 49\)
4. \(\log_2 \left(\frac{64}{4}\right)\)
5. \(\log_5 125\)