最小公倍数と最大公約数についての説明

最小公倍数（さいしょうこうばいすう、Least Common Multiple、LCM）とは、2つ以上の整数のうち、共通する倍数の中で最小のものを指します。最大公約数（さいだいこうやくすう、Greatest Common Divisor、GCD）とは、2つ以上の整数のうち、共通する約数の中で最大のものを指します。

最大公約数の求め方

最大公約数を求める方法の一つに、ユークリッドの互除法があります。これは次のように計算します。

  1. 2つの数のうち大きい方を a、小さい方を b とします。
  2. a を b で割った余りを r とします。
  3. r が 0 になるまで、a を b、b を r に置き換えて繰り返します。
  4. 最後に b が最大公約数になります。
例えば、48 と 18 の最大公約数を求める場合、
\( 48 \div 18 = 2 \text{ 余り } 12 \)
\( 18 \div 12 = 1 \text{ 余り } 6 \)
\( 12 \div 6 = 2 \text{ 余り } 0 \)
よって、48 と 18 の最大公約数は 6 です。

最小公倍数の求め方

最小公倍数は、以下の式で最大公約数を使って求めることができます。

\( \text{LCM}(a, b) = \frac{a \times b}{\text{GCD}(a, b)} \)
例えば、48 と 18 の最小公倍数を求める場合、
\( \text{GCD}(48, 18) = 6 \)
\( \text{LCM}(48, 18) = \frac{48 \times 18}{6} = 144 \)

練習問題

以下の数の最小公倍数と最大公約数を求めてください。

  1. 24 と 36 の最大公約数
  2. 24 と 36 の最小公倍数
  3. 15 と 25 の最大公約数
  4. 15 と 25 の最小公倍数
解答を表示/非表示
  1. 24 と 36 の最大公約数：
    \( 36 \div 24 = 1 \text{ 余り } 12 \)
    \( 24 \div 12 = 2 \text{ 余り } 0 \)
    よって、最大公約数は 12。
  2. 24 と 36 の最小公倍数：
    \( \text{GCD}(24, 36) = 12 \)
    \( \text{LCM}(24, 36) = \frac{24 \times 36}{12} = 72 \)
  3. 15 と 25 の最大公約数：
    \( 25 \div 15 = 1 \text{ 余り } 10 \)
    \( 15 \div 10 = 1 \text{ 余り } 5 \)
    \( 10 \div 5 = 2 \text{ 余り } 0 \)
    よって、最大公約数は 5。
  4. 15 と 25 の最小公倍数：
    \( \text{GCD}(15, 25) = 5 \)
    \( \text{LCM}(15, 25) = \frac{15 \times 25}{5} = 75 \)