固有値問題の解法

次の微分方程式

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lambda f(x) $$

を解きます。ここで、$ f(x) \neq 0 $ と仮定します。

まず、両辺を $ f(x) $ で割ります。

$$ \frac{1}{f(x)} \frac{d}{dx} f(x) = \lambda $$

この式の両辺を $ x $ に関して積分します。

$$ \int \frac{1}{f(x)} \frac{d}{dx} f(x) \, dx = \int \lambda \, dx $$

左辺は $ \log |f(x)| $、右辺は $ \lambda x + b $ （積分定数 $ b $）となります。

$$ \log |f(x)| = \lambda x + b $$

次に、両辺の指数関数を取ります。

$$ |f(x)| = e^{\lambda x + b} = e^b e^{\lambda x} $$

ここで、$ e^b $ は定数 $ c $ とおくと、

$$ |f(x)| = c e^{\lambda x} $$

最後に、$ f(x) $ の符号を考慮して、一般解は次のようになります。

$$ f(x) = \pm c e^{\lambda x} $$

任意の定数 $ \pm c $ を $ c $ としてまとめることで、最終的に

$$ f(x) = c e^{\lambda x} $$

が得られます。