指数の法則
指数の法則は、指数を使った演算に関する基本的なルールです。以下に主要な法則を示します。
積の法則: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)
例: \( 2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 \)
商の法則: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) （ただし \( a \neq 0 \)）
例: \( \frac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4 \)
累乗の法則: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
例: \( (3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6 \)
積の累乗の法則: \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \)
例: \( (2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4 \)
商の累乗の法則: \( \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} \) （ただし \( b \neq 0 \)）
例: \( \left( \frac{4}{2} \right)^3 = \frac{4^3}{2^3} \)
ゼロ指数の法則: \( a^0 = 1 \) （ただし \( a \neq 0 \)）
例: \( 7^0 = 1 \)
負の指数の法則: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) （ただし \( a \neq 0 \)）
例: \( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \)
指数の問題
問題 1: \( 3^2 \times 3^4 \) の値を求めなさい。
解答: \( 3^2 \times 3^4 = 3^{2+4} = 3^6 = 729 \)
問題 2: \( \frac{7^5}{7^2} \) の値を求めなさい。
解答: \( \frac{7^5}{7^2} = 7^{5-2} = 7^3 = 343 \)
問題 3: \( (2^3)^2 \) の値を求めなさい。
解答: \( (2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64 \)
問題 4: \( (5 \cdot 4)^2 \) の値を求めなさい。
解答: \( (5 \cdot 4)^2 = 5^2 \cdot 4^2 = 25 \cdot 16 = 400 \)
問題 5: \( \left( \frac{8}{2} \right)^3 \) の値を求めなさい。
解答: \( \left( \frac{8}{2} \right)^3 = \frac{8^3}{2^3} = \frac{512}{8} = 64 \)