連立方程式とは、複数の方程式の集まりで、その解が全ての方程式を同時に満たすような値のことです。例えば、次のような2つの方程式があります：
連立方程式を解く方法の一つに「加減法」と「代入法」があります。それぞれの方法を説明します。
加減法は、方程式どうしを足したり引いたりして、変数を消去する方法です。
次の連立方程式を加減法で解いてください。
両方の方程式を足して、変数 \( y \) を消去します：
\( (x + y) + (x - y) = 5 + 1 \)
\( 2x = 6 \)
\( x = 3 \)
\( x = 3 \) をどちらかの方程式に代入して、 \( y \) を求めます：
\( 3 + y = 5 \)
\( y = 2 \)
したがって、解は \( x = 3 \)、\( y = 2 \) です。
代入法は、一方の方程式から変数を解いて、その結果を他方の方程式に代入する方法です。
次の連立方程式を代入法で解いてください。
まず、第二の方程式から \( x \) を求めます：
\( x = y + 1 \)
これを第一の方程式に代入します：
\( 2(y + 1) + y = 7 \)
\( 2y + 2 + y = 7 \)
\( 3y = 5 \)
\( y = \frac{5}{3} \)
この \( y \) を使って、 \( x \) を求めます：
\( x = \frac{5}{3} + 1 = \frac{8}{3} \)
したがって、解は \( x = \frac{8}{3} \)、\( y = \frac{5}{3} \) です。
多元一次方程式は、複数の変数を含む一次方程式です。これも連立方程式として解くことができます。
次の連立方程式を解いてください。
問題1: 加減法を用いて解いてください。
両方の方程式を足して、変数 \( y \) を消去します：
\( (3x + 2y) + (x - 2y) = 12 + 2 \)
\( 4x = 14 \)
\( x = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} \)
\( x = \frac{7}{2} \) をどちらかの方程式に代入して、 \( y \) を求めます：
\( \frac{7}{2} - 2y = 2 \)
\( -2y = 2 - \frac{7}{2} \)
\( -2y = \frac{4}{2} - \frac{7}{2} = -\frac{3}{2} \)
\( y = \frac{3}{2} \times -\frac{1}{2} = -\frac{3}{4} \)
したがって、解は \( x = \frac{7}{2} \)、\( y = -\frac{3}{4} \) です。
問題2: 代入法を用いて解いてください。
まず、第二の方程式から \( x \) を求めます：
\( x = -6 - 3y \)
これを第一の方程式に代入します：
\( 4(-6 - 3y) - y = 9 \)
\( -24 - 12y - y = 9 \)
\( -13y = 33 \)
\( y = \frac{33}{-13} = -\frac{33}{13} \)
この \( y \) を使って、 \( x \) を求めます：
\( x = -6 - 3(-\frac{33}{13}) \)
\( x = -6 + \frac{99}{13} = -\frac{78}{13} + \frac{99}{13} = \frac{21}{13} \)
したがって、解は \( x = \frac{21}{13} \)、\( y = -\frac{33}{13} \) です。