約数の個数と総和の求め方

約数の個数と総和を求めるには、その数の素因数分解を利用します。

約数の個数の求め方

ある数 \( n \) の約数の個数を求めるには、まずその数を素因数分解します。素因数分解した結果が \[ n = p_1^{e_1} \times p_2^{e_2} \times \cdots \times p_k^{e_k} \] となるとき、約数の個数は次の式で求められます： \[ (e_1 + 1)(e_2 + 1) \cdots (e_k + 1) \]

約数の総和の求め方

同様に、ある数 \( n \) の約数の総和を求めるには、素因数分解の結果を利用します。素因数分解した結果が \[ n = p_1^{e_1} \times p_2^{e_2} \times \cdots \times p_k^{e_k} \] となるとき、約数の総和は次の式で求められます： \[ (1 + p_1 + p_1^2 + \cdots + p_1^{e_1})(1 + p_2 + p_2^2 + \cdots + p_2^{e_2}) \cdots (1 + p_k + p_k^2 + \cdots + p_k^{e_k}) \]

例題

例題として、72 の約数の個数と総和を求めてみます。

まず、72 を素因数分解します：
\( 72 = 2^3 \times 3^2 \)
約数の個数は次のように求められます：
\( (3 + 1)(2 + 1) = 4 \times 3 = 12 \)
次に、約数の総和は次のように求められます：
\( (1 + 2 + 2^2 + 2^3)(1 + 3 + 3^2) = (1 + 2 + 4 + 8)(1 + 3 + 9) = 15 \times 13 = 195 \)

練習問題

以下の数の約数の個数と総和を求めてください。

  1. 36
  2. 60
  3. 100
  4. 150
解答を表示/非表示
  1. 36 の約数の個数と総和：
    まず、36 を素因数分解します：
    \( 36 = 2^2 \times 3^2 \)
    約数の個数は次のように求められます：
    \( (2 + 1)(2 + 1) = 3 \times 3 = 9 \)
    約数の総和は次のように求められます：
    \( (1 + 2 + 2^2)(1 + 3 + 3^2) = (1 + 2 + 4)(1 + 3 + 9) = 7 \times 13 = 91 \)
  2. 60 の約数の個数と総和：
    まず、60 を素因数分解します：
    \( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \)
    約数の個数は次のように求められます：
    \( (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3 \times 2 \times 2 = 12 \)
    約数の総和は次のように求められます：
    \( (1 + 2 + 2^2)(1 + 3)(1 + 5) = (1 + 2 + 4)(1 + 3)(1 + 5) = 7 \times 4 \times 6 = 168 \)
  3. 100 の約数の個数と総和：
    まず、100 を素因数分解します：
    \( 100 = 2^2 \times 5^2 \)
    約数の個数は次のように求められます：
    \( (2 + 1)(2 + 1) = 3 \times 3 = 9 \)
    約数の総和は次のように求められます：
    \( (1 + 2 + 2^2)(1 + 5 + 5^2) = (1 + 2 + 4)(1 + 5 + 25) = 7 \times 31 = 217 \)
  4. 150 の約数の個数と総和：
    まず、150 を素因数分解します：
    \( 150 = 2 \times 3 \times 5^2 \)
    約数の個数は次のように求められます：
    \( (1 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 2 \times 2 \times 3 = 12 \)
    約数の総和は次のように求められます：
    \( (1 + 2)(1 + 3)(1 + 5 + 5^2) = (1 + 2)(1 + 3)(1 + 5 + 25) = 3 \times 4 \times 31 = 372 \)