2次方程式の解の判別
2次方程式は次の形式で表されます： \[ ax^2 + bx + c = 0 \] ここで、\(a\)、\(b\)、\(c\) は係数です。2次方程式の解の個数と種類は、判別式 \(D\) を使って判断することができます。判別式 \(D\) は次のように定義されます： \[ D = b^2 - 4ac \]
解の判別
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\(D > 0\)：この場合、方程式は2つの異なる実数解を持ちます。
例：\(2x^2 - 3x + 1 = 0\)
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\(D = 0\)：この場合、方程式は重解（1つの実数解）を持ちます。
例：\(x^2 - 2x + 1 = 0\)
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\(D < 0\)：この場合、方程式は2つの異なる虚数解を持ちます。
例：\(x^2 + x + 1 = 0\)
例題
次の2次方程式の解を判別しなさい。
- \(2x^2 - 3x + 1 = 0\)
- \(x^2 - 2x + 1 = 0\)
- \(x^2 + x + 1 = 0\)
解答
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まず、係数を特定します：
\[
a = 2, \quad b = -3, \quad c = 1
\]
次に、判別式を求めます：
\[
D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1
\]
\(D > 0\)なので、2つの異なる実数解を持ちます。
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まず、係数を特定します：
\[
a = 1, \quad b = -2, \quad c = 1
\]
次に、判別式を求めます：
\[
D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0
\]
\(D = 0\)なので、重解（1つの実数解）を持ちます。
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まず、係数を特定します：
\[
a = 1, \quad b = 1, \quad c = 1
\]
次に、判別式を求めます：
\[
D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3
\]
\(D < 0\)なので、2つの異なる虚数解を持ちます。
練習問題
次の2次方程式の解を判別しなさい。
- \(3x^2 + 5x - 2 = 0\)
- \(x^2 - 4x + 4 = 0\)
- \(2x^2 + 2x + 2 = 0\)
- \(x^2 - x - 6 = 0\)
- \(4x^2 + 4x + 1 = 0\)
解答を表示/非表示
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まず、係数を特定します：
\[
a = 3, \quad b = 5, \quad c = -2
\]
次に、判別式を求めます：
\[
D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(3)(-2) = 25 + 24 = 49
\]
\(D > 0\)なので、2つの異なる実数解を持ちます。
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まず、係数を特定します：
\[
a = 1, \quad b = -4, \quad c = 4
\]
次に、判別式を求めます：
\[
D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0
\]
\(D = 0\)なので、重解（1つの実数解）を持ちます。
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まず、係数を特定します：
\[
a = 2, \quad b = 2, \quad c = 2
\]
次に、判別式を求めます：
\[
D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(2)(2) = 4 - 16 = -12
\]
\(D < 0\)なので、2つの異なる虚数解を持ちます。
-
まず、係数を特定します：
\[
a = 1, \quad b = -1, \quad c = -6
\]
次に、判別式を求めます：
\[
D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25
\]
\(D > 0\)なので、2つの異なる実数解を持ちます。
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まず、係数を特定します：
\[
a = 4, \quad b = 4, \quad c = 1
\]
次に、判別式を求めます：
\[
D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(4)(1) = 16 - 16 = 0
\]
\(D = 0\)なので、重解（1つの実数解）を持ちます。