2次曲線の解説
放物線
放物線は2次曲線の一つで、一般的な方程式は次の通りです：
\[ y = ax^2 + bx + c \]
ここで、a, b, c は定数です。
具体例1: 放物線
例1: 方程式が \( y = x^2 \) で表される放物線を考えます。
楕円
楕円は2次曲線の一つで、一般的な方程式は次の通りです：
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
ここで、a, b は軸の長さを決める定数です。
具体例2: 楕円
例2: 方程式が \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1 \) で表される楕円を考えます。
- この楕円は、x軸方向に長さが4、y軸方向に長さが9の楕円です。
双曲線
双曲線は2次曲線の一つで、一般的な方程式は次の通りです：
\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
ここで、a, b は軸の長さを決める定数です。
具体例3: 双曲線
例3: 方程式が \( \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1 \) で表される双曲線を考えます。
- この双曲線は、x軸方向に長さが4、y軸方向に長さが9の双曲線です。
練習問題
次の2次曲線について、それぞれの曲線を求めてみましょう：
- 方程式が \( y = 2x^2 + 3x + 1 \) で表される放物線について、頂点と軸を求めなさい。
- 方程式が \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1 \) で表される楕円について、長軸と短軸の長さを求めなさい。
- 方程式が \( \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 \) で表される双曲線について、漸近線の方程式を求めなさい。
解答を表示/非表示
- 方程式が \( y = 2x^2 + 3x + 1 \) で表される放物線について、頂点と軸を求めなさい。
- 一般的な形式 \( y = ax^2 + bx + c \) を使用して頂点を求めます。
- 頂点のx座標は次の式で求められます：
\[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{4} \]
- y座標はこのx値を元の方程式に代入して求めます：
\[ y = 2 \left( -\frac{3}{4} \right)^2 + 3 \left( -\frac{3}{4} \right) + 1 = -\frac{1}{8} \]
- よって、頂点は \(\left( -\frac{3}{4}, -\frac{1}{8} \right)\) です。
- 軸はx = -3/4 の直線です。
- 方程式が \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1 \) で表される楕円について、長軸と短軸の長さを求めなさい。
- この楕円において、a = 4、b = 5 です。
- 長軸の長さは2b = 10、短軸の長さは2a = 8です。
- 方程式が \( \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 \) で表される双曲線について、漸近線の方程式を求めなさい。
- 双曲線の標準形式において、漸近線の方程式は次の通りです：
\[
y = \pm \frac{b}{a} x = \pm \frac{4}{3} x
\]
- 故に漸近線の方程式は y = \frac{4}{3}x と y = -\frac{4}{3}x です。