複素数の極形式の解説

複素数とは？

複素数とは、実数と虚数の和で表される数です。一般的な複素数は次のように書かれます： \[ z = a + bi \] ここで、\(a\) は実部、\(b\) は虚部、\(i\) は虚数単位で、\(i^2 = -1\) です。

極形式とは？

複素数を極形式で表すと、次のようになります： \[ z = r (\cos \theta + i \sin \theta) \] ここで、\(r\) は複素数の絶対値（モジュールス）、\(\theta\) は偏角（アーギュメント）です。

極形式の求め方

• 絶対値 \(r\) は次のように計算します： \[ r = \sqrt{a^2 + b^2} \]
• 偏角 \(\theta\) は次のように計算します： \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \]

具体例1: 複素数の極形式

例1: \(z = 1 + i\) の極形式を求めなさい。

• 絶対値 \(r\) を計算： \[ r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \]
• 偏角 \(\theta\) を計算： \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4} \]
• したがって、極形式は： \[ z = \sqrt{2} \left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right) \]

具体例2: 複素数の極形式

例2: \(z = -1 + \sqrt{3}i\) の極形式を求めなさい。

• 絶対値 \(r\) を計算： \[ r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2 \]
• 偏角 \(\theta\) を計算： \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right) = \frac{2\pi}{3} \]
• したがって、極形式は： \[ z = 2 \left(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}\right) \]

練習問題

次の複素数の極形式を求めてみましょう：

1. \(z = 3 + 4i\) の極形式を求めなさい。
2. \(z = -1 - i\) の極形式を求めなさい。
3. \(z = 2 - 2\sqrt{3}i\) の極形式を求めなさい。