複素数

整数、有理数、無理数

数にはいくつかの種類があります。整数、有理数、無理数はその中でもよく知られている分類です。

• 整数：負の整数、0、正の整数を含みます。例：...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...
• 有理数：整数の比として表すことができる数です。分数形式で表されます。例：1/2, -3/4, 5
• 無理数：有理数でない数、つまり整数の比として表すことができない数です。例： √2, π (パイ)

有理数と無理数を合わせて実数と言います。

複素数

実数では解けない方程式、例えば\(x^2 + 1 = 0\) のようなものを解決するために、複素数が導入されました。

複素数は次のように定義されます： \[ z = a + bi \] ここで、\(a\) と \(b\) は実数で、\(i\) は虚数単位と呼ばれ、次の性質を持ちます： \[ i^2 = -1 \]

虚数単位

虚数単位 \(i\) は、次の性質を持ちます： \[ i = \sqrt{-1}, \quad i^2 = -1 \] つまり、虚数単位は実数の範囲外にあり、その平方根と同じ性質を持ちます。

例題

以下の式を解きなさい。

1. \((3 + 4i) + (1 - 2i)\)
2. \((2 + 3i) - (1 + i)\)

解答

1. \[ (3 + 4i) + (1 - 2i) = 3 + 1 + 4i - 2i = 4 + 2i \]
2. \[ (2 + 3i) - (1 + i) = 2 - 1 + 3i - i = 1 + 2i \]

複素数の演算法則

複素数の演算は以下のように行います。

• 加法：\( (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \)
• 減法：\( (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i \)
• 乗法：\( (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i \)
• 除法：\( \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} \)

例題

以下の式を計算しなさい。

1. \((2 + 3i)(1 + 4i)\)
2. \(\frac{3 + 2i}{1 - i}\)

解答

1. \[ (2 + 3i)(1 + 4i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4i + 3i \cdot 1 + 3i \cdot 4i = 2 + 8i + 3i + 12i^2 = 2 + 11i + 12(-1) = -10 + 11i \]
2. \[ \frac{3 + 2i}{1 - i} = \frac{(3 + 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{3 + 3i + 2i + 2i^2}{1 - i^2} = \frac{3 + 5i + 2(-1)}{1 - (-1)} = \frac{1 + 5i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i \]

共役複素数

複素数 \(a + bi\) の共役複素数（きょうやくふくそすう、complex conjugate）は \(a - bi\) です。共役複素数により、複素数の分母の有理化を行うことができます。

例題

共役複素数を使って以下の式を計算しなさい。

1. \(\frac{4 + 3i}{2 - i}\)
2. \(\frac{5 - 2i}{1 + 3i}\)

解答

1. \[ \frac{4 + 3i}{2 - i} = \frac{(4 + 3i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{8 + 4i + 6i + 3i^2}{4 - (-1)} = \frac{8 + 10i + 3(-1)}{5} = \frac{5 + 10i}{5} = 1 + 2i \]
2. \[ \frac{5 - 2i}{1 + 3i} = \frac{(5 - 2i)(1 - 3i)}{(1 + 3i)(1 - 3i)} = \frac{5 - 15i - 2i + 6i^2}{1 - 9i^2} = \frac{5 - 17i + 6(-1)}{-8} = \frac{-1 - 17i}{-8} = \frac{1}{8} + \frac{17}{8}i \]

練習問題

以下の練習問題を解きなさい。

虚数単位

1. \((4 + 5i) + (1 - 3i)\)
2. \((7 - 2i) - (3 + 4i)\)

複素数の演算法則

1. \((1 + 2i)(3 + 5i)\)
2. \(\frac{2 + 3i}{1 + 2i}\)

共役複素数

1. \(\frac{6 + 2i}{3 - i}\)
2. \(\frac{7 - i}{2 + 3i}\)