実数には大小関係があり、任意の実数 \(x\) と \(y\) に対して、次のいずれかが成り立ちます。
実数は完備であり、これは 上限の公理 によって説明されます。
実数の部分集合 \(S\) が上に有界であれば、\(S\) の上限（最小の上界）が存在します：
\[ \exists M \in \mathbb{R}, \, \forall x \in S, \, x \leq M \implies \sup(S) = M \]
実数は加法、減法、乗法、除法について閉じています。すなわち、
\[ a + b \in \mathbb{R}, \quad a - b \in \mathbb{R}, \quad a \cdot b \in \mathbb{R}, \quad \frac{a}{b} \in \mathbb{R} \, (b \neq 0) \]
実数は連続しており、任意の実数 \(x\) と \(y\) の間には常に他の実数が存在します：
\[ \forall x, y \in \mathbb{R}, \, x < y \implies \exists z \in \mathbb{R}, \, x < z < y \]
実数列 \(\{a_n\}\) が コーシー列 であるとは、任意の正の数 \(\epsilon > 0\) に対して、自然数 \(N\) が存在し、全ての \(n, m \geq N\) について次が成り立つことです：
\[ |a_n - a_m| < \epsilon \]
数列 \(\{a_n\}\) が収束するための必要十分条件は、それがコーシー列であることです。すなわち：
\[ \{a_n\} \text{ が収束する} \iff \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n, m \geq N, \, |a_n - a_m| < \epsilon \]
実数の完備性により、実数の範囲ではコーシー列は必ず極限を持ちます。