2項定理と多項定理についての説明
2項定理（にこうていり、Binomial Theorem）と多項定理（たこうていり、Multinomial Theorem）は、多項式の展開に関する重要な定理です。
2項定理
2項定理は、次のように定式化されます：
\[
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
\]
ここで、\(\binom{n}{k}\) は二項係数を表し、次のように定義されます：
\[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]
例題：2項定理の応用
\((x + y)^3\) を展開してみます。
\[
(x + y)^3 = \sum_{k=0}^{3} \binom{3}{k} x^{3-k} y^k
\]
各項を計算すると：
\[
\binom{3}{0} x^3 y^0 + \binom{3}{1} x^2 y^1 + \binom{3}{2} x^1 y^2 + \binom{3}{3} x^0 y^3
\]
それぞれの二項係数を計算すると：
\[
1 \cdot x^3 + 3 \cdot x^2 y + 3 \cdot xy^2 + 1 \cdot y^3
\]
よって、
\[
(x + y)^3 = x^3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3
\]
多項定理
多項定理は、次のように定式化されます：
\[
(x_1 + x_2 + \cdots + x_m)^n = \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} \frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!} x_1^{k_1} x_2^{k_2} \cdots x_m^{k_m}
\]
ここで、和は \(k_1 + k_2 + \cdots + k_m = n\) となるすべての非負整数 \(k_i\) にわたって取られます。
例題：多項定理の応用
\((a + b + c)^2\) を展開してみます。
\[
(a + b + c)^2 = \sum_{k_1+k_2+k_3=2} \frac{2!}{k_1!k_2!k_3!} a^{k_1} b^{k_2} c^{k_3}
\]
各項を計算すると：
\(k_1=2, k_2=0, k_3=0\) の場合：
\[
\frac{2!}{2!0!0!} a^2 b^0 c^0 = 1 \cdot a^2
\]
\(k_1=1, k_2=1, k_3=0\) の場合：
\[
\frac{2!}{1!1!0!} a^1 b^1 c^0 = 2 \cdot ab
\]
\(k_1=1, k_2=0, k_3=1\) の場合：
\[
\frac{2!}{1!0!1!} a^1 b^0 c^1 = 2 \cdot ac
\]
\(k_1=0, k_2=2, k_3=0\) の場合：
\[
\frac{2!}{0!2!0!} a^0 b^2 c^0 = 1 \cdot b^2
\]
\(k_1=0, k_2=1, k_3=1\) の場合：
\[
\frac{2!}{0!1!1!} a^0 b^1 c^1 = 2 \cdot bc
\]
\(k_1=0, k_2=0, k_3=2\) の場合：
\[
\frac{2!}{0!0!2!} a^0 b^0 c^2 = 1 \cdot c^2
\]
よって、
\[
(a + b + c)^2 = a^2 + 2ab + 2ac + b^2 + 2bc + c^2
\]
練習問題
以下の式を展開してください。
- \((x + y)^4\)
- \((a + b + c)^3\)
- \((p + q + r + s)^2\)
解答を表示/非表示
-
\((x + y)^4\) の展開：
\[
(x + y)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} x^{4-k} y^k
\]
各項を計算すると：
\[
\binom{4}{0} x^4 y^0 + \binom{4}{1} x^3 y^1 + \binom{4}{2} x^2 y^2 + \binom{4}{3} x^1 y^3 + \binom{4}{4} x^0 y^4
\]
それぞれの二項係数を計算すると：
\[
1 \cdot x^4 + 4 \cdot x^3 y + 6 \cdot x^2 y^2 + 4 \cdot x y^3 + 1 \cdot y^4
\]
よって、
\[
(x + y)^4 = x^4 + 4x^3 y + 6x^2 y^2 + 4xy^3 + y^4
\]
-
\((a + b + c)^3\) の展開：
\[
(a + b + c)^3 = \sum_{k_1+k_2+k_3=3} \frac{3!}{k_1!k_2!k_3!} a^{k_1} b^{k_2} c^{k_3}
\]
各項を計算すると：
\br>
\(k_1=3, k_2=0, k_3=0\) の場合：
\[
\frac{3!}{3!0!0!} a^3 b^0 c^0 = 1 \cdot a^3
\]
\(k_1=2, k_2=1, k_3=0\) の場合：
\[
\frac{3!}{2!1!0!} a^2 b^1 c^0 = 3 \cdot a^2 b
\]
\(k_1=2, k_2=0, k_3=1\) の場合：
\[
\frac{3!}{2!0!1!} a^2 b^0 c^1 = 3 \cdot a^2 c
\]
\(k_1=1, k_2=2, k_3=0\) の場合：
\[
\frac{3!}{1!2!0!} a^1 b^2 c^0 = 3 \cdot ab^2
\]
\(k_1=1, k_2=1, k_3=1\) の場合：
\[
\frac{3!}{1!1!1!} a^1 b^1 c^1 = 6 \cdot abc
\]
\(k_1=1, k_2=0, k_3=2\) の場合：
\[
\frac{3!}{1!0!2!} a^1 b^0 c^2 = 3 \cdot ac^2
\]
\(k_1=0, k_2=3, k_3=0\) の場合：
\[
\frac{3!}{0!3!0!} a^0 b^3 c^0 = 1 \cdot b^3
\]
\(k_1=0, k_2=2, k_3=1\) の場合：
\[
\frac{3!}{0!2!1!} a^0 b^2 c^1 = 3 \cdot b^2 c
\]
\(k_1=0, k_2=1, k_3=2\) の場合：
\[
\frac{3!}{0!1!2!} a^0 b^1 c^2 = 3 \cdot bc^2
\]
\(k_1=0, k_2=0, k_3=3\) の場合：
\[
\frac{3!}{0!0!3!} a^0 b^0 c^3 = 1 \cdot c^3
\]
よって、
\[
(a + b + c)^3 = a^3 + 3a^2b + 3a^2c + 3ab^2 + 6abc + 3ac^2 + b^3 + 3b^2c + 3bc^2 + c^3
\]
-
\((p + q + r + s)^2\) の展開：
\[
(p + q + r + s)^2 = \sum_{k_1+k_2+k_3+k_4=2} \frac{2!}{k_1!k_2!k_3!k_4!} p^{k_1} q^{k_2} r^{k_3} s^{k_4}
\]
各項を計算すると：
\(k_1=2, k_2=0, k_3=0, k_4=0\) の場合：
\[
\frac{2!}{2!0!0!0!} p^2 q^0 r^0 s^0 = 1 \cdot p^2
\]
\(k_1=1, k_2=1, k_3=0, k_4=0\) の場合：
\[
\frac{2!}{1!1!0!0!} p^1 q^1 r^0 s^0 = 2 \cdot pq
\]
\(k_1=1, k_2=0, k_3=1, k_4=0\) の場合：
\[
\frac{2!}{1!0!1!0!} p^1 q^0 r^1 s^0 = 2 \cdot pr
\]
\(k_1=1, k_2=0, k_3=0, k_4=1\) の場合：
\[
\frac{2!}{1!0!0!1!} p^1 q^0 r^0 s^1 = 2 \cdot ps
\]
\(k_1=0, k_2=2, k_3=0, k_4=0\) の場合：
\[
\frac{2!}{0!2!0!0!} p^0 q^2 r^0 s^0 = 1 \cdot q^2
\]
\(k_1=0, k_2=1, k_3=1, k_4=0\) の場合：
\[
\frac{2!}{0!1!1!0!} p^0 q^1 r^1 s^0 = 2 \cdot qr
\]
\(k_1=0, k_2=1, k_3=0, k_4=1\) の場合：
\[
\frac{2!}{0!1!0!1!} p^0 q^1 r^0 s^1 = 2 \cdot qs
\]
\(k_1=0, k_2=0, k_3=2, k_4=0\) の場合：
\[
\frac{2!}{0!0!2!0!} p^0 q^0 r^2 s^0 = 1 \cdot r^2
\]
\(k_1=0, k_2=0, k_3=1, k_4=1\) の場合：
\[
\frac{2!}{0!0!1!1!} p^0 q^0 r^1 s^1 = 2 \cdot rs
\]
\(k_1=0, k_2=0, k_3=0, k_4=2\) の場合：
\[
\frac{2!}{0!0!0!2!} p^0 q^0 r^0 s^2 = 1 \cdot s^2
\]
よって、
\[
(p + q + r + s)^2 = p^2 + 2pq + 2pr + 2ps + q^2 + 2qr + 2qs + r^2 + 2rs + s^2
\]